Dicionário

Framework

Estrutura real, ou conceitual, que visa servir como suporte (ou guia) para a construção de algo (um produto, por exemplo). “Este algo” herdará as características desta estrutura, implementando o produto final (“algo”). - Becode

Ex. você tem um computador mas precisa fazer ele funcionar, instalar o sistema operacional, etc. Você usa códigos prontos, com uma estrutura de criação padronizada para fazer sua aplicação. Exemplos: Angular, Vue.js, ASP.NET

Biblioteca

É uma coleção de implementações de comportamentos escritos em uma linguagem e importadas no seu código. Nesse caso, há uma interface bem definida para cada comportamento invocado. Um bom exemplo é a biblioteca jQuery que implementa certos comportamentos, como por exemplo, a manipulação do HTML. - Becode

Ex. é como se você comprasse as peças do computador e você que vai montar, então biblioteca é algo pronto que vai fazer algo especifico mas ela sozinha não faz nada. Exemplo: Jquery, Bootstrap, Chart.js

API

Conjunto de comandos, funções, protocolos e objetos em que programadores podem interagir com sistemas externos. Dessa forma, possibilitando a utilização de comandos padrões para agilizar operações comuns entre sistemas, de tal forma que desenvolvedores não precisarão escrever o código do zero. Imagine que você precisa implementar um módulo de mapas em sua aplicação, isso seria trabalhoso começado do zero, certo? Porque não usar algo já existente? O Google Maps através de sua API, por exemplo. - Becode

Ex. simplesmente uma maneira de acessar uma aplicação externa, fornecida por essa aplicação externa. Você -> Seu site -> API -> Google Maps. Quando tem um mapa em um site, você não está pedindo a localização para o Google diretamente, você pede pra essa API (que vai ter todos os códigos e funções necessárias) e ela vai ir até o Google e retornar o resultado.

Boilerplate

Boilerplate vem da área do direito e se refere a partes de um contrato que não precisam ser alterados mas que precisam estar presentes em todo novo contrato. Ou seja, um Boilerplate é um código que sempre se repete quase sem alteração.